Nosotros queremos derivar $f(x)=\left(x^{5}-7 x\right)^{\sqrt{3 x+1}}$

1. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros: $ \ln(f(x)) = \ln((x^5 - 7x)^{\sqrt{3x + 1}}) $ 2. Usamos la propiedad del logaritmo para el término de la derecha: $ \ln(f(x)) = \sqrt{3x + 1} \cdot \ln(x^5 - 7x) $ 3. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a \( x \) (del lado derecho arrancá con una regla del producto!) $ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \ln(x^5 - 7x) + \sqrt{3x + 1} \cdot \frac{5x^4 - 7}{x^5 - 7x} $ Por último, despejamos \( f'(x) \) $ f'(x) = (x^5 - 7x)^{\sqrt{3x + 1}} \cdot \left( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \ln(x^5 - 7x) + \sqrt{3x + 1} \cdot \frac{5x^4 - 7}{x^5 - 7x} \right) $