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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.10. Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:
w) f(x)=(x5−7x)3x+1f(x)=\left(x^{5}-7 x\right)^{\sqrt{3 x+1}}

Respuesta

Acá nuevamente tenemos algo que depende de xx elevado a algo que también depende de xx... Vamos a seguir los mismos pasos que te mostré en el item (t):

Nosotros queremos derivar f(x)=(x5−7x)3x+1f(x)=\left(x^{5}-7 x\right)^{\sqrt{3 x+1}}

1. Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros: ln⁡(f(x))=ln⁡((x5−7x)3x+1) \ln(f(x)) = \ln((x^5 - 7x)^{\sqrt{3x + 1}}) 2. Usamos la propiedad del logaritmo para el término de la derecha: ln⁡(f(x))=3x+1⋅ln⁡(x5−7x) \ln(f(x)) = \sqrt{3x + 1} \cdot \ln(x^5 - 7x) 3. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x x (del lado derecho arrancá con una regla del producto!) f′(x)f(x)=323x+1⋅ln⁡(x5−7x)+3x+1⋅5x4−7x5−7x \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \ln(x^5 - 7x) + \sqrt{3x + 1} \cdot \frac{5x^4 - 7}{x^5 - 7x} Por último, despejamos f′(x) f'(x) f′(x)=(x5−7x)3x+1⋅(323x+1⋅ln⁡(x5−7x)+3x+1⋅5x4−7x5−7x) f'(x) = (x^5 - 7x)^{\sqrt{3x + 1}} \cdot \left( \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot \ln(x^5 - 7x) + \sqrt{3x + 1} \cdot \frac{5x^4 - 7}{x^5 - 7x} \right)
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